arrangements avec répétitions

nombre de sacs à k éléments inclus dans un ensemble à n éléments
maths
Date de publication

6 janvier 2023

Définition

\(\mathcal{A}_{n}^{k} = n^{k}\)

Les arrangements avec répétitions dans \(n\) de \(k\) sont le nombre de \(k\)-uplets d’éléments d’un ensemble à \(n\) éléments.

C’est donc le nombre de possibilités de mettre \(n\) types d’objets dans \(k\) emplacements.

Interprétation

Voici quelques questions dont la réponse passe par un arrangement avec répétitions :

  • le langage toki pona possède 120 mots. Combien peut-on faire de phrases de 5 mots en toki pona ?
    • \(\mathcal{A}_{120}^{5} = 120^{5} = 24\,883\,200\,000\), soit ving-quatre milliards huit-cent quatre-vingt-trois millions deux-cent mille phrases différents
  • Combien de codes PIN à 4 chiffres peut-on faire ?
    • Arrangements avec répétitions de 4 chiffres parmi les 10 existants, soit \(\mathcal{A}_{10}^{4} = 10^{4} = 10\,000\) codes possibles
      • Note : cela veut dire que, avec un ordinateur actuel, craquer un code à 4 chiffres est instantané (donc si vous vous faîtes voler un ordinateur avec un tel code, il ne sera pas protégé)

Formule

On peut mettre l’un des \(n\) objets dans les \(k\) positions :

  • \(n\) possibilités dans la \(1^{ère}\) position
  • \(n\) possibilités dans la \(2^{ème}\)
  • \(\vdots\)
  • \(n\) possibilités dans la \(k^{ème}\) position

Donc, en tout, \(\underbrace{n\times n\times \cdots \times n}_{k \text{ répétitions}} = n^{k}\)

On a donc bien : \(\mathcal{A}_{n}^{k} = n^{k}\)